Weight Normalization

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前言

之前介绍的BN[2]和LN[3]都是在数据的层面上做的归一化，而这篇文章介绍的Weight Normalization（WN)是在权值的维度上做的归一化。WN的做法是将权值向量$\mathbf{w}$在其欧氏范数和其方向上解耦成了参数向量$\mathbf{v}$和参数标量$g$后使用SGD分别优化这两个参数。

WN也是和样本量无关的，所以可以应用在batchsize较小以及RNN等动态网络中；另外BN使用的基于mini-batch的归一化统计量代替全局统计量，相当于在梯度计算中引入了噪声。而WN则没有这个问题，所以在生成模型，强化学习等噪声敏感的环境中WN的效果也要优于BN。

WN没有一如额外参数，这样更节约显存。同时WN的计算效率也要优于要计算归一化统计量的BN。

1. WN详解

1.1 WN的计算

神经网络的一个节点计算可以表示为：

$$y = \phi(\mathbf{w}\cdot\mathbf{x}+b)$$

其中$\mathbf{w}$是一个$k$-维的特征向量，$y$是该神经节点的输出，所以是一个标量。在得到损失值后，我们会根据损失函数的值使用SGD等优化策略更新$\mathbf{w}$和$b$。WN提出的归一化策略是将$\mathbf{w}$分解为一个参数向量$\mathbf{v}$和一个参数标量$g$，分解方法为

$$\mathbf{w} = \frac{g}{||\mathbf{v}||} \mathbf{v}$$

上式中$||\mathbf{v}||$表示$\mathbf{v}$的欧氏范数。当$\mathbf{v}=\mathbf{w}$且$g = ||\mathbf{w}||$时，WN还原为普通的计算方法，所以WN的网络容量是要大于普通神经网络的。

图1：权值向量的分解可视化

当我们将$g$固定为$||\mathbf{w}||$时，我们只优化$\mathbf{v}$，这时候相当于只优化$\mathbf{w}$的方向而保留其范数。当$\mathbf{v}$固定为$\mathbf{w}$时，这时候相当于只优化$\mathbf{w}$的范数，而保留其方向，这样为我们优化权值提供了更多可以选择的空间，且解耦方向与范数的策略也能加速其收敛。

在优化$g$时，我们一般通过优化$g$的log级参数$s$来完成，即$g = e^s$。

$\mathbf{v}$和$g$的更新值可以通过SGD计算得到：

$$\nabla_g L = \frac{\nabla_{\mathbf w}L \cdot \mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} \qquad \nabla_{\mathbf{v}} L = \frac{g}{||\mathbf{v}||} \nabla_{\mathbf{w}} L - \frac{g\nabla_g L}{||\mathbf{v}||^2} \mathbf{v}$$

其中$L$为损失函数，$\nabla_{\mathbf{w}}L$为$\mathbf{w}$在$L$下的梯度值。

从上面WN的计算公式中我们可以看出WN并没有引入新的参数，

1.2 WN的原理

1.1节的梯度更新公式也可以写作：

$$\nabla_{\mathbf{v}} L = \frac{g}{||\mathbf{v}||} M_{\mathbf{w}} \nabla_{\mathbf w}L \quad \text{with} \quad M_{\mathbf{w}} = I - \frac{\mathbf{w}\mathbf{w}'}{||\mathbf{w}||^2}$$

推导方式如下：

倒数第二步的推导是因为$\mathbf{v}$是$\mathbf{w}$的方向向量。上面公式反应了WN两个重要特征：

1. $\frac{g}{||\mathbf{v}||}$表明WN会对权值梯度进行$\frac{g}{||\mathbf{v}||}$的缩放；
2. $M_{\mathbf{w}} \nabla_{\mathbf w}L$表明WN会将梯度投影到一个远离于$\nabla_{\mathbf w}L$的方向。

这两个特征都会加速模型的收敛。

具体原因论文的说法比较复杂，其核心思想有两点：1.由于$\mathbf{w}$垂直于$M_{\mathbf{w}}$，所以$\nabla_{\mathbf{v}}L$非常接近于垂直参数方向$\mathbf{w}$，这样对于矫正梯度更新方向是非常有效的；2.$\mathbf{v}$和梯度更新值中的噪声量成正比，而$\mathbf{v}$是和更新量成反比，所以当更新值中噪音较多时，更新值会变小，这说明WN有自稳定（self-stablize）的作用。这个特点使得我们可以在WN中使用比较大的学习率。

另一个角度从新权值的协方差矩阵出发的，假设$\mathbf{w}$的协方差矩阵是$\mathbf{C}$，那么$\mathbf{v}$的协方差矩阵$\mathbf{D} = (g^2/||\mathbf{v}||^2)M_{\mathbf{w}}\mathbf{C}M_{\mathbf{w}}$，当去掉$\mathbf{D}$中的特征值后我们发现新的$\mathbf{D}$非常趋近于一个单位矩阵，这说明了$\mathbf{w}$是$\mathbf{C}$的主特征向量（dominant eigenvector），说明WN有助于提升收敛速度。

1.3 BN和WN的关系

假设$t = \mathbf{v} \mathbf{x}$，$\mu[t]$和$\sigma[t]$分别为$t$的均值和方差，BN可以表示为：

$$t' = \frac{t-\mu[t]}{\sigma[t]} = \frac{\mathbf{v}}{\sigma[t]}\mathbf{x} - \frac{\mu[t]}{\sigma[t]}$$

当网络只有一层且输入样本服从均值为0，方差为1的独立分布时，我们有$\mu[t]=0$且$\sigma[t] = ||\mathbf{v}||$，此时WN和BN等价。

1.4 WN的参数初始化

由于WN不像BN有规范化特征尺度的作用，所以WN的初始化需要慎重。作者建议的初始化策略是：

• $\mathbf{v}$使用均值为0，标准差为0.05的正态分布进行初始化；
• $g$和偏置$b$使用第一批训练样本的统计量进行初始化：

$$g \leftarrow \frac{1}{\sigma[t]} \qquad b \leftarrow \frac{-\mu[t]}{\sigma[t]}$$

由于使用了样本进行初始化，所以这种初始化方法不适用于RNN等动态网络。

1.5 Mean-Only BN

基于WN的动机，文章提出了Mean-Only BN。这种方法是一个只进行减均值而不进行除方差的BN，动机是考虑到BN的除方差操作会引入额外的噪声，实验结果表明WN+Mean-Only BN虽然比标准BN收敛得慢，但它们在测试集的精度要高于BN。

2. 总结

和目前主流归一化方法不同的是，WN的归一化操作作用在了权值矩阵之上。从其计算方法上来看，WN完全不像是一个归一化方法，更像是基于矩阵分解的一种优化策略，它带来了四点好处：

1. 更快的收敛速度；

2. 更强的学习率鲁棒性；

3. 可以应用在RNN等动态网络中；

4. 对噪声更不敏感，更适用在GAN，RL等场景中。

说WN不像归一化的原因是它并没有对得到的特征范围进行约束的功能，所以WN依旧对参数的初始值非常敏感，这也是WN一个比较严重的问题。