Connectionist Temporal Classification : Labelling Unsegmented Sequence Data with Recurrent Neural Ne

本文主要参考自Hannun等人在distill.pub发表的文章（https://distill.pub/2017/ctc/），感谢Hunnun等人对CTC的梳理。

简介

在语音识别中，我们的数据集是音频文件和其对应的文本，不幸的是，音频文件和文本很难再单词的单位上对齐。除了语言识别，在OCR，机器翻译中，都存在类似的Sequence to Sequence结构，同样也需要在预处理操作时进行对齐，但是这种对齐有时候是非常困难的。如果不使用对齐而直接训练模型时，由于人的语速的不同，或者字符间距离的不同，导致模型很难收敛。

CTC(Connectionist Temporal Classification)是一种避开输入与输出的一种方式，是非常适合语音识别或者OCR这种应用的。

给定输入序列$X=[x_1,x_2,...,x_T]$以及对应的标签数据$Y=[y1,y2,..,yU]$,例如语音识别中的音频文件和文本文件。我们的工作是找到X到Y的一个映射，这种对时序数据进行分类的算法叫做Temporal Classification。

对比传统的分类方法，时序分类有如下难点：

1. $X$和$Y$的长度都是变化的；

2. $X$和$Y$的长度是不相等的；

3. 对于一个端到端的模型，我们并不希望手动设计$X$和$Y$之间的对齐。

CTC提供了解决方案，对于一个给定的输入序列$X,$ CTC给出所有可能的Y的输出分布。根据这个分布，我们可以输出最可能的结果或者给出某个输出的概率。

损失函数：给定输入序列$X$，我们希望最大化Y的后验概率$P(Y|X)$, $P(Y|X)$应该是可导的，这样我们能执行梯度下降算法；

测试：给定一个训练好的模型和输入序列$X$，我们希望输出概率最高的$Y$:

$Y^* = argmax_Y p(Y|X)$

当然，在测试时，我们希望$Y^*$能够尽快的被搜索到。

算法详解

给定输入$X$，CTC输出每个可能输出及其条件概率。问题的关键是CTC的输出概率是如何考虑$X$和$Y$之间的对齐的，这种对齐也是构建损失函数的基础。所以，首先我们分析CTC的对齐方式，然后我们在分析CTC的损失函数的构造。

1.1 对齐

需要注意的是，CTC本身是不需要对齐的，但是我们需要知道$X$的输出路径和最终输出结果的对应关系，因为在CTC中，多个输出路径可能对应一个输出结果，举例来理解。例如在OCR的任务中，输入$X$是含有“CAT”的图片，输出$Y$是文本[C, A, T]。将X分割成若干个时间片，每个时间片得到一个输出，一个最简答的解决方案是合并连续重复出现的字母，如图2.

这个问题有两个缺点：

1. 几乎不可能将$X$的每个时间片都和输出Y对应上，例如OCR中字符的间隔，语音识别中的停顿;

2. 不能处理有连续重复字符出现的情况，例如单词“HELLO”，按照上面的算法，输出的是“HELO”而非“HELLO”。

为了解决上面的问题，CTC引入了空白字符$\epsilon$，例如OCR中的字符间距，语音识别中的停顿均表示为$\epsilon$。所以，CTC的对齐涉及去除重复字母和去除$\epsilon$两部分，如图3。

这种对齐方式有三个特征：

1. $X$与$Y$之间的时间片映射是单调的，即如果$X$向前移动一个时间片，$Y$保持不动或者也向前移动一个时间片；

2. $X$与$Y$之间的映射是多对一的，即多个输出可能对应一个映射，反之则不成立，所以也有了特征3；

3. $X$的长度大于等于$Y$的长度。

1.2 损失函数

CTC的时间片的输出和输出序列的映射如图4：

也就是说，对应标签$Y$，其关于输入$X$的后验概率可以表示为所有映射为$Y$的路径之和，我们的目标就是最大化$Y$关于$x = y$的后验概率$P(Y|X)$。假设每个时间片的输出是相互独立的，则路径的后验概率是每个时间片概率的累积，公式及其详细含义如图5。

上面的CTC算法存在性能问题，对于一个时间片长度为$T$的$N$分类任务，所有可能的路径数为$T^N$，在很多情况下，这几乎是一个宇宙级别的数字，用于计算Loss几乎是不现实的。在CTC中采用了动态规划的思想来对查找路径进行剪枝，算法的核心思想是如果路径$\pi_1$和路径$\pi_2$在时间片t之前的输出均相等，我们就可以提前合并他们，如图6。

其中，横轴的单位是$X$的时间片，纵轴的单位是$Y$插入$\epsilon$的序列Z。例如对于单词“ZOO”，插入$\epsilon$后为：

$Z = \{\epsilon, Z, \epsilon, O, \epsilon, O, \epsilon\}$

我们用$\alpha_{s,t}$表示路径中已经合并的在横轴单位为t，纵轴单位为s的节点。根据CTC的对齐方式的三个特征，输入有9个时间片，标签内容是“ZOO”，$P(Y|X)$的所有可能的合法路径如下图

上图分成两种情况

Case 1：

如果$\alpha_{s,t} = \epsilon$， 则$\alpha_{s,t}$只能由前一个空格$\alpha_{s-1,t-1}$或者其本身$\alpha_{s,t-1}$得到，如果$\alpha_{s,t}$不等于$\epsilon$，但是$\alpha_{s,t}$为连续字符的第二个，即$\alpha_{s} = \alpha_{s-2}$，则$\alpha_{s,t}$只能由前一个空格$\alpha_{s-1,t-1}$或者其本身$\alpha_{s,t-1}$得到，而不能由前一个字符得到，因为这样做会将连续两个相同的字符合并成一个。$p_t(z_s | X)$表示在时刻t输出字符$z_s$的概率。

$\alpha(s,t) = (\alpha(s,t-1) + \alpha(s-1, t-1))\cdot p_t(z_s | X)$

Case 2:

如果$\alpha_{s,t}$ 不等于$\epsilon$，则$\alpha_{s,t}$可以由$\alpha_{s,t-1}$，$\alpha_{s-1,t-1}$以及格$\alpha_{s-2,t-1}$得来，可以表示为：

$\alpha(s,t) = (\alpha(s,t-1) + \alpha(s-1, t-1) + \alpha(s-2, t-1))\cdot p_t(z_s | X)$

从图7中我们可以看到，合法路径有两个起始点，合法路径的概率$p(Y|X)$是两个final nodes的概率之和。

现在，我们已经可以高效的计算损失函数，下一步的工作便是计算梯度用于训练模型。由于$P(Y|X)$的计算只涉及加法和乘法，因此其一定是可导函数，进而我们可以使用SGD优化模型。

对于数据集$D$，模型的优化目标是最小化负对数似然

$\mathop{\sum}_{(X,Y)\in D} -logp(Y|X)$

1.3 预测

当我们训练好一个RNN模型时，给定一个输入序列$X$，我们需要找到最可能的输出，也就是求解

$Y^* = \mathop{\arg\max}_Y p(Y|X)$

求解最可能的输出有两种方案，一种是Greedy Search，第二种是beam search

1.3.1 Greedy Search

每个时间片均取该时间片概率最高的节点作为输出：

$A^* = \mathop{\arg\max}_A \prod_{t=1}^T p_t(a_t | X)$

这个方法最大的缺点是忽略了一个输出可能对应多个对齐方式.

1.3.2 Beam Search

Beam Search是寻找全局最优值和Greedy Search在查找时间和模型精度的一个折中。一个简单的beam search在每个时间片计算所有可能假设的概率，并从中选出最高的几个作为一组。然后再从这组假设的基础上产生概率最高的几个作为一组假设，依次进行，直到达到最后一个时间片，下图是beam search的宽度为3的搜索过程，红线为选中的假设。

CTC的特征

1. 条件独立：CTC的一个非常不合理的假设是其假设每个时间片都是相互独立的，这是一个非常不好的假设。在OCR或者语音识别中，各个时间片之间是含有一些语义信息的，所以如果能够在CTC中加入语言模型的话效果应该会有提升。

2. 单调对齐：CTC的另外一个约束是输入$X$与输出$Y$之间的单调对齐，在OCR和语音识别中，这种约束是成立的。但是在一些场景中例如机器翻译，这个约束便无效了。

3. 多对一映射：CTC的又一个约束是输入序列$X$的长度大于标签数据$Y$的长度，但是对于$Y$的长度大于$X$的长度的场景，CTC便失效了。